> restart:
> Digits:=50:
> Phi:=proc(x)
>   int(1/sqrt(2*Pi)*exp(-t^2/2),t=-infinity..x)
> end:
> with(numapprox):
> Order:=20:
> S:=series(erf(y)-x,y):
> R:=convert(solve(S,y),polynom):
> P:=minimax(R,x=0..1,[5,5]);
> plot(erf(P)-x,x=0..1);
> expr:=-1/(Pi^(1/2)*exp(1/2*LambertW(2/Pi/(y-1)^2))*(y-1)):
> series(expr,y=1,5);
> solve(convert(series(erf(x),x=infinity,3),polynom)=y,x);
> plot([erf(expr),y],y=0.9..1);
> 
> 

                                                           -6
  P := (-0.931016081029396945801879213100564177164488410 10   + (

        1.9667589772881248589005145596342952784517869449702 + (

        -2.1845846695093251724033070036319164110526305275866 + (

        -1.4077524852951284293092116020500722296498251830276 + (

        2.4782190283403376790521076142794247041818822897287

         - 0.71408812015103649629948260587435427593482388247715 x) x)

        x) x) x)/(2.2191141621863561049324175031198830658199101778944

         + (-2.4620726180755717339348476339012965690111892510189 + (

        -2.1947816664298362633640199612768785606036363252396 + (

        3.5494586794412646286199914695667121871987143742928 + (

        -0.80913925493634330980469735210115176969928404123438

         - 0.21533074505598155935496778246031925865814224197777 x) x)

        x) x) x)


> expr:=arctanh(x)*sqrt(Pi)/2:
> fact:=x:
> for i from 1 to 35 by 2 do
>   pol:=convert(series(erf(expr-a*fact),x,i+2),polynom);
>   sol:=solve(pol=x,a):
>   expr:=expr-sol*fact;
>   fact:=fact*x^2;
>   print(evalf(expr));
> od:

   0.88622692545275801364908374167057259139877472806120 arctanh(x)


  0.88622692545275801364908374167057259139877472806120 arctanh(x)

                                                                 3
         - 0.06339530861626484432949383130190604288235722642527 x


  0.88622692545275801364908374167057259139877472806120 arctanh(x)

                                                                 3
         - 0.06339530861626484432949383130190604288235722642527 x

                                                                 5
         - 0.04968920978495364447581700691838443864299892220368 x


  0.88622692545275801364908374167057259139877472806120 arctanh(x)

                                                                 3
         - 0.06339530861626484432949383130190604288235722642527 x

                                                                 5
         - 0.04968920978495364447581700691838443864299892220368 x

                                                                  7
         - 0.040051717251703611077370170466735889820434255252255 x


  0.88622692545275801364908374167057259139877472806120 arctanh(x)

                                                                 3
         - 0.06339530861626484432949383130190604288235722642527 x

                                                                 5
         - 0.04968920978495364447581700691838443864299892220368 x

                                                                  7
         - 0.040051717251703611077370170466735889820434255252255 x

                                                                  9
         - 0.033510040638254365912327969343079555395422755182858 x


  0.88622692545275801364908374167057259139877472806120 arctanh(x)

                                                                 3
         - 0.06339530861626484432949383130190604288235722642527 x

                                                                 5
         - 0.04968920978495364447581700691838443864299892220368 x

                                                                  7
         - 0.040051717251703611077370170466735889820434255252255 x

                                                                  9
         - 0.033510040638254365912327969343079555395422755182858 x

                                                                  11
         - 0.028834802147452536219102999716463055191164418888621 x


  0.88622692545275801364908374167057259139877472806120 arctanh(x)

                                                                 3
         - 0.06339530861626484432949383130190604288235722642527 x

                                                                 5
         - 0.04968920978495364447581700691838443864299892220368 x

                                                                  7
         - 0.040051717251703611077370170466735889820434255252255 x

                                                                  9
         - 0.033510040638254365912327969343079555395422755182858 x

                                                                  11
         - 0.028834802147452536219102999716463055191164418888621 x

                                                                  13
         - 0.025334581306107112743739568789077267251926364587049 x


  0.88622692545275801364908374167057259139877472806120 arctanh(x)

                                                                 3
         - 0.06339530861626484432949383130190604288235722642527 x

                                                                 5
         - 0.04968920978495364447581700691838443864299892220368 x

                                                                  7
         - 0.040051717251703611077370170466735889820434255252255 x

                                                                  9
         - 0.033510040638254365912327969343079555395422755182858 x

                                                                  11
         - 0.028834802147452536219102999716463055191164418888621 x

                                                                  13
         - 0.025334581306107112743739568789077267251926364587049 x

                                                                  15
         - 0.022615865721652241251025815534200917562728662370259 x


  0.88622692545275801364908374167057259139877472806120 arctanh(x)

                                                                 3
         - 0.06339530861626484432949383130190604288235722642527 x

                                                                 5
         - 0.04968920978495364447581700691838443864299892220368 x

                                                                  7
         - 0.040051717251703611077370170466735889820434255252255 x

                                                                  9
         - 0.033510040638254365912327969343079555395422755182858 x

                                                                  11
         - 0.028834802147452536219102999716463055191164418888621 x

                                                                  13
         - 0.025334581306107112743739568789077267251926364587049 x

                                                                  15
         - 0.022615865721652241251025815534200917562728662370259 x

                                                                  17
         - 0.020441990593262671640336633986927250535733626399410 x


  0.88622692545275801364908374167057259139877472806120 arctanh(x)

                                                                 3
         - 0.06339530861626484432949383130190604288235722642527 x

                                                                 5
         - 0.04968920978495364447581700691838443864299892220368 x

                                                                  7
         - 0.040051717251703611077370170466735889820434255252255 x

                                                                  9
         - 0.033510040638254365912327969343079555395422755182858 x

                                                                  11
         - 0.028834802147452536219102999716463055191164418888621 x

                                                                  13
         - 0.025334581306107112743739568789077267251926364587049 x

                                                                  15
         - 0.022615865721652241251025815534200917562728662370259 x

                                                                  17
         - 0.020441990593262671640336633986927250535733626399410 x

                                                                  19
         - 0.018662889427255197037573740213658321844885053615862 x


  0.88622692545275801364908374167057259139877472806120 arctanh(x)

                                                                 3
         - 0.06339530861626484432949383130190604288235722642527 x

                                                                 5
         - 0.04968920978495364447581700691838443864299892220368 x

                                                                  7
         - 0.040051717251703611077370170466735889820434255252255 x

                                                                  9
         - 0.033510040638254365912327969343079555395422755182858 x

                                                                  11
         - 0.028834802147452536219102999716463055191164418888621 x

                                                                  13
         - 0.025334581306107112743739568789077267251926364587049 x

                                                                  15
         - 0.022615865721652241251025815534200917562728662370259 x

                                                                  17
         - 0.020441990593262671640336633986927250535733626399410 x

                                                                  19
         - 0.018662889427255197037573740213658321844885053615862 x

                                                                  21
         - 0.017179006323218698811834678592998371854613941696075 x


  0.88622692545275801364908374167057259139877472806120 arctanh(x)

                                                                 3
         - 0.06339530861626484432949383130190604288235722642527 x

                                                                 5
         - 0.04968920978495364447581700691838443864299892220368 x

                                                                  7
         - 0.040051717251703611077370170466735889820434255252255 x

                                                                  9
         - 0.033510040638254365912327969343079555395422755182858 x

                                                                  11
         - 0.028834802147452536219102999716463055191164418888621 x

                                                                  13
         - 0.025334581306107112743739568789077267251926364587049 x

                                                                  15
         - 0.022615865721652241251025815534200917562728662370259 x

                                                                  17
         - 0.020441990593262671640336633986927250535733626399410 x

                                                                  19
         - 0.018662889427255197037573740213658321844885053615862 x

                                                                  21
         - 0.017179006323218698811834678592998371854613941696075 x

                                                                  23
         - 0.015921742135570165291056619587764946887520531152800 x


  0.88622692545275801364908374167057259139877472806120 arctanh(x)

                                                                 3
         - 0.06339530861626484432949383130190604288235722642527 x

                                                                 5
         - 0.04968920978495364447581700691838443864299892220368 x

                                                                  7
         - 0.040051717251703611077370170466735889820434255252255 x

                                                                  9
         - 0.033510040638254365912327969343079555395422755182858 x

                                                                  11
         - 0.028834802147452536219102999716463055191164418888621 x

                                                                  13
         - 0.025334581306107112743739568789077267251926364587049 x

                                                                  15
         - 0.022615865721652241251025815534200917562728662370259 x

                                                                  17
         - 0.020441990593262671640336633986927250535733626399410 x

                                                                  19
         - 0.018662889427255197037573740213658321844885053615862 x

                                                                  21
         - 0.017179006323218698811834678592998371854613941696075 x

                                                                  23
         - 0.015921742135570165291056619587764946887520531152800 x

                                                                  25
         - 0.014842296639051318827194550013318229751024408800228 x


  0.88622692545275801364908374167057259139877472806120 arctanh(x)

                                                                 3
         - 0.06339530861626484432949383130190604288235722642527 x

                                                                 5
         - 0.04968920978495364447581700691838443864299892220368 x

                                                                  7
         - 0.040051717251703611077370170466735889820434255252255 x

                                                                  9
         - 0.033510040638254365912327969343079555395422755182858 x

                                                                  11
         - 0.028834802147452536219102999716463055191164418888621 x

                                                                  13
         - 0.025334581306107112743739568789077267251926364587049 x

                                                                  15
         - 0.022615865721652241251025815534200917562728662370259 x

                                                                  17
         - 0.020441990593262671640336633986927250535733626399410 x

                                                                  19
         - 0.018662889427255197037573740213658321844885053615862 x

                                                                  21
         - 0.017179006323218698811834678592998371854613941696075 x

                                                                  23
         - 0.015921742135570165291056619587764946887520531152800 x

                                                                  25
         - 0.014842296639051318827194550013318229751024408800228 x

                                                                  27
         - 0.013905002210434405301282102930154944551920472495717 x


  0.88622692545275801364908374167057259139877472806120 arctanh(x)

                                                                 3
         - 0.06339530861626484432949383130190604288235722642527 x

                                                                 5
         - 0.04968920978495364447581700691838443864299892220368 x

                                                                  7
         - 0.040051717251703611077370170466735889820434255252255 x

                                                                  9
         - 0.033510040638254365912327969343079555395422755182858 x

                                                                  11
         - 0.028834802147452536219102999716463055191164418888621 x

                                                                  13
         - 0.025334581306107112743739568789077267251926364587049 x

                                                                  15
         - 0.022615865721652241251025815534200917562728662370259 x

                                                                  17
         - 0.020441990593262671640336633986927250535733626399410 x

                                                                  19
         - 0.018662889427255197037573740213658321844885053615862 x

                                                                  21
         - 0.017179006323218698811834678592998371854613941696075 x

                                                                  23
         - 0.015921742135570165291056619587764946887520531152800 x

                                                                  25
         - 0.014842296639051318827194550013318229751024408800228 x

                                                                  27
         - 0.013905002210434405301282102930154944551920472495717 x

                                                                  29
         - 0.013083178590686833590573272439449263310752871499168 x


  0.88622692545275801364908374167057259139877472806120 arctanh(x)

                                                                 3
         - 0.06339530861626484432949383130190604288235722642527 x

                                                                 5
         - 0.04968920978495364447581700691838443864299892220368 x

                                                                  7
         - 0.040051717251703611077370170466735889820434255252255 x

                                                                  9
         - 0.033510040638254365912327969343079555395422755182858 x

                                                                  11
         - 0.028834802147452536219102999716463055191164418888621 x

                                                                  13
         - 0.025334581306107112743739568789077267251926364587049 x

                                                                  15
         - 0.022615865721652241251025815534200917562728662370259 x

                                                                  17
         - 0.020441990593262671640336633986927250535733626399410 x

                                                                  19
         - 0.018662889427255197037573740213658321844885053615862 x

                                                                  21
         - 0.017179006323218698811834678592998371854613941696075 x

                                                                  23
         - 0.015921742135570165291056619587764946887520531152800 x

                                                                  25
         - 0.014842296639051318827194550013318229751024408800228 x

                                                                  27
         - 0.013905002210434405301282102930154944551920472495717 x

                                                                  29
         - 0.013083178590686833590573272439449263310752871499168 x

                                                                  31
         - 0.012356464349500491100481930514493373362617249791955 x


  0.88622692545275801364908374167057259139877472806120 arctanh(x)

                                                                 3
         - 0.06339530861626484432949383130190604288235722642527 x

                                                                 5
         - 0.04968920978495364447581700691838443864299892220368 x

                                                                  7
         - 0.040051717251703611077370170466735889820434255252255 x

                                                                  9
         - 0.033510040638254365912327969343079555395422755182858 x

                                                                  11
         - 0.028834802147452536219102999716463055191164418888621 x

                                                                  13
         - 0.025334581306107112743739568789077267251926364587049 x

                                                                  15
         - 0.022615865721652241251025815534200917562728662370259 x

                                                                  17
         - 0.020441990593262671640336633986927250535733626399410 x

                                                                  19
         - 0.018662889427255197037573740213658321844885053615862 x

                                                                  21
         - 0.017179006323218698811834678592998371854613941696075 x

                                                                  23
         - 0.015921742135570165291056619587764946887520531152800 x

                                                                  25
         - 0.014842296639051318827194550013318229751024408800228 x

                                                                  27
         - 0.013905002210434405301282102930154944551920472495717 x

                                                                  29
         - 0.013083178590686833590573272439449263310752871499168 x

                                                                  31
         - 0.012356464349500491100481930514493373362617249791955 x

                                                                  33
         - 0.011709046314108497923526239487666031764605173634450 x


  0.88622692545275801364908374167057259139877472806120 arctanh(x)

                                                                 3
         - 0.06339530861626484432949383130190604288235722642527 x

                                                                 5
         - 0.04968920978495364447581700691838443864299892220368 x

                                                                  7
         - 0.040051717251703611077370170466735889820434255252255 x

                                                                  9
         - 0.033510040638254365912327969343079555395422755182858 x

                                                                  11
         - 0.028834802147452536219102999716463055191164418888621 x

                                                                  13
         - 0.025334581306107112743739568789077267251926364587049 x

                                                                  15
         - 0.022615865721652241251025815534200917562728662370259 x

                                                                  17
         - 0.020441990593262671640336633986927250535733626399410 x

                                                                  19
         - 0.018662889427255197037573740213658321844885053615862 x

                                                                  21
         - 0.017179006323218698811834678592998371854613941696075 x

                                                                  23
         - 0.015921742135570165291056619587764946887520531152800 x

                                                                  25
         - 0.014842296639051318827194550013318229751024408800228 x

                                                                  27
         - 0.013905002210434405301282102930154944551920472495717 x

                                                                  29
         - 0.013083178590686833590573272439449263310752871499168 x

                                                                  31
         - 0.012356464349500491100481930514493373362617249791955 x

                                                                  33
         - 0.011709046314108497923526239487666031764605173634450 x

                                                                  35
         - 0.011128453296140264810248792562413575215323250488374 x

> with(numapprox);expr;
> minimax(expr,x=0.1..0.9,5);
> plot(erf(expr)-x,x=0..1);

  [chebdeg, chebmult, chebpade, chebsort, chebyshev, confracform,

        hermite_pade, hornerform, infnorm, laurent, minimax, pade,

        remez]


                         /  1/2     3/2\      /  1/2       5/2\
                   1/2   |Pi      Pi   |  3   |Pi      7 Pi   |  5
  1/2 arctanh(x) Pi    - |----- - -----| x  - |----- - -------| x
                         \  6      24  /      \ 10       960  /

           /  1/2         7/2\      /         9/2     1/2\
           |Pi      127 Pi   |  7   |  4369 Pi      Pi   |  9
         - |----- - ---------| x  - |- ---------- + -----| x
           \ 14       80640  /      \   11612160     18  /

           /  1/2           11/2\
           |Pi      34807 Pi    |  11
         - |----- - ------------| x
           \ 22      364953600  /

           /             13/2     1/2\
           |  20036983 Pi       Pi   |  13
         - |- --------------- + -----| x
           \   797058662400      26  /

           /               15/2     1/2\
           |  2280356863 Pi       Pi   |  15
         - |- ----------------- + -----| x
           \   334764638208000     30  /

           /                17/2     1/2\
           |  49020204823 Pi       Pi   |  17
         - |- ------------------ + -----| x
           \  26015994740736000     34  /

           /                   19/2     1/2\
           |  65967241200001 Pi       Pi   |  19
         - |- --------------------- + -----| x
           \  124564582818643968000    38  /

           /                      21/2     1/2\
           |  15773461423793767 Pi       Pi   |  21
         - |- ------------------------ + -----| x
           \  104634249567660933120000    42  /

           /                       23/2      1/2\
           |  655889589032992201 Pi        Pi   |  23
         - |- -------------------------- + -----| x
           \  15127122937496123473920000    46  /

           /                         25/2      1/2\
           |  94020690191035873697 Pi        Pi   |  25
         - |- ---------------------------- + -----| x
           \  7474578392645143363584000000    50  /

           /                              27/2      1/2\
           |   655782249799531714375489 Pi        Pi   |  27
         - |- --------------------------------- + -----| x
           \  178403237075654281802022912000000    54  /

           /                                29/2      1/2\
           |   44737200694996264619809969 Pi        Pi   |  29
         - |- ----------------------------------- + -----| x
           \  41389551001551793378069315584000000    58  /

           /                                   31/2      1/2\
           |   10129509912509255673830968079 Pi        Pi   |  31
         - |- -------------------------------------- + -----| x   -
           \  31699526708247314693086028759040000000    62  /

        /                                       33/2       1/2\
        |   108026349476762041127839800617281 Pi         Pi   |  33
        |- ------------------------------------------- + -----| x
        \  1138139806932911586740560776564572160000000    66  /

         -

        /                                         35/2       1/2\
        |   10954814567103825758202995557819063 Pi         Pi   |  35
        |- --------------------------------------------- + -----| x
        \  386967534357189939491790664031954534400000000    70  /

Warning, computation interrupted

> 
