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atensorは、代数テンソル操作パッケージです。
atensorを使うには、load("atensor")をタイプしてください。
続いて、init_atensor関数コールしてください。
atensorの本質は非可換(ドット)積演算子 (".")の整理ルール一式です
atensorはいくつかの代数型を認識します;
init_atensor関数がコールされた時、
対応する整理ルールが有効になります。
atensorの能力は、
四元数代数を2つの基底ベクトルを持つClifford代数 Cl(0,2)として
定義することで実演することができます。
3つの四元数虚数単位は2つの基底ベクトルとその積、すなわち以下の通りです:
i = v j = v k = v . v
1 2 1 2
atensorパッケージは
四元数代数に関する組み込みの定義を持ちますが、
この例では使わず、四元数乗算表を行列として組むよう試みます:
(%i1) load("atensor");
(%o1) /share/tensor/atensor.mac
(%i2) init_atensor(clifford,0,0,2);
(%o2) done
(%i3) atensimp(v[1].v[1]);
(%o3) - 1
(%i4) atensimp((v[1].v[2]).(v[1].v[2]));
(%o4) - 1
(%i5) q:zeromatrix(4,4);
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
(%o5) [ ]
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
(%i6) q[1,1]:1;
(%o6) 1
(%i7) for i thru adim do q[1,i+1]:q[i+1,1]:v[i];
(%o7) done
(%i8) q[1,4]:q[4,1]:v[1].v[2];
(%o8) v . v
1 2
(%i9) for i from 2 thru 4 do for j from 2 thru 4 do
q[i,j]:atensimp(q[i,1].q[1,j]);
(%o9) done
(%i10) q;
[ 1 v v v . v ]
[ 1 2 1 2 ]
[ ]
[ v - 1 v . v - v ]
[ 1 1 2 2 ]
(%o10) [ ]
[ v - v . v - 1 v ]
[ 2 1 2 1 ]
[ ]
[ v . v v - v - 1 ]
[ 1 2 2 1 ]
atensorは
添字付きシンボルを基底ベクトルと認識します。
シンボルはasymbolの中に記憶されたものであり、
添字は1からadimまで間です。
添字付きシンボルだけに関して
双一次形式
sf, af, avが評価されます。
評価は
fun(v[i],v[j])に
aform[i,j]の値を代入します
ここで、vは asymbolの値を表し、
funは afか sfを示します;
あるいは、
av(v[i],v[j])に v[aform[i,j]]を代入します。
言うまでもなく、関数 sf, af, avは再定義するこができます。
atensorパッケージがロードされる時、以下のフラグが設定されます:
dotscrules:true; dotdistrib:true; dotexptsimp:false;
もし非結合代数で実験したいなら、
dotassocを falseに設定することも考えるかもしれません。
しかし、この場合、
atensimpはいつも
望みの整理を得ることができるわけではありません。
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